Ecrire une valeur approchée d'un nombre
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Introduction

Il existe beaucoup de nombres dont on connaît la valeur exacte mais dont on ne sait pas "combien ça fait". Par exemple, on sait que est la valeur exacte du quotient de 102 par 7, mais on ne sait pas "combien ça fait"; ou encore, on sait que est la valeur exacte de la racine carrée de 29, mais on ne sait pas non plus "combien ça fait".

Heureusement, l'écriture décimale est très pratique pour avoir une idée de la taille d'un nombre.

Par exemple, si je m'intéresse au quotient de 102 par 7, je peux bien sûr l'écrire   mais si je veux savoir "combien ça fait", alors il est préfarable d'utiliser l'écriture décimale en calculant ce quotient. (prenez votre calculatrice et tapez ce calcul)

La calculatrice indique

 

(c'est une calculatrice avec un très grand écran)

Malheureusement, on constate que ce calcul-ci ne "tombe pas juste", puisque les décimales occupent tout l'écran de la calculatrice et que l'on constate une répétition dans les décimales (571428 revient à l'infini). Cela vient du fait que l'on retrouve le même reste au bout de la septième décimale.

 On ne peut donc pas utiliser l'écriture décimale pour avoir une valeur exacte de ce quotient (voir N13)

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ENCADREMENT

 

 En revanche, cette écriture est très pratique pour apprendre par exemple que ce nombre est compris entre 14 et 15  (puisqu'il vaut 14,5714285 etc):

  • encadrement à l'unité             

On peut être plus précis et écrire un encadrement au dixième, puis au centième, etc ; on peut être aussi précis que l'on veut puisqu'on connaît toutes les décimales de ce nombre:

  • encadrement au dixième      
  • encadrement au centième      
  • encadrement au millième      
  • encadrement au dix-millième      
  • encadrement au cent-millième      

etcetera, etcetera....

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TRONCATURE

 

 Avez-vous compris comment obtenir , par exemple, un encadrement au centième?

On considère le nombre obtenu après calcul, c'est-à-dire 14,57142857142857...., et on le "coupe" (on dit aussi on le "tronque") juste après la décimale des centièmes, ici 7.

Le nombre tronqué est 14,57.

On dit aussi que 14,57 est la troncature au centième.

Bien-sûr, si vous avez compris, vous savez alors que

    • 14 est la troncature à l'unité.
    • 14,5 est la troncature au dixième.
    • 14,571 est la troncature au millième.
    • 14,5714 est la troncature au dix-millième.
    • 14,57142 est la troncature au cent-millième.

etcetera, etcetera....

Pour obtenir l'encadrement au centième,

  • on considère la troncature au centième               14,57

 ce sera la valeur inférieure;

  • puis on ajoute un centième à cette troncature      14,57 + 0,01 = 14,58

et on obtient la valeur supérieure

ainsi, l'encadrement au centième est bien  14,57 < < 14,58

 

Prenons un autre exemple (si vous avez compris , vous pouvez passer directement à la section suivante "valeurs approchées")

Cherchons à obtenir l'encadrement au dixième (vous pouvez d'abord le faire tout seul et vérifier ensuite si vous avez compris).

  • Premièrement, considérons la troncature au dixième     14,5

ce sera la valeur inférieure

  • puis on ajoute un dixième à cette troncature    14,5 + 0,1 = 14,6

et on obtient la valeur supérieure.

Ainsi, l'encadrement au dixième est bien  14,5 <  < 14,6

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Valeurs approchées par défaut, par excès

 

Les valeurs inférieures et supérieures (on dit aussi les bornes) de l'encadrement  sont des valeurs approchées du quotient .

Toujours dans notre exemple, si l'on considère toujours l'encadrement au centième,

c'est-à-dire 14,57 < < 14,58

les deux bornes de l'encadrement sont 14,57 et 14,58.

La valeur inférieure est appelée "valeur approchée par défaut"

ici, 14,57 est la valeur approchée par défaut de  au centième.

La valeur supérieure est appelée "valeur approchée par excès"

ici, 14,58 est la valeur approchée par excès de  au centième.

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Arrondi

 

Il nous reste à définir ce qu'est la valeur arrondie (ou arrondi tout court) d'un nombre à une précision donnée.

  •  la valeur arrondie est la valeur la plus proche du nombre, entre la valeur approchée par défaut , et la valeur approchée par excès.

  Un exemple immédiatement:

Considérons l'encadrement à l'unité:

La valeur approchée par défaut est 14 et la valeur approchée par excès est 15.

La question est de savoir si  est plus proche de 14 ou de 15.

La valeur pile "au milieu" entre ces deux bornes est 14,5.

Comme  est supérieur à 14,5 (puisqu'il s'écrit 14,5714...), il est plus près de la borne supérieure, c'est-à-dire de la valeur approchée par excès 15.

Un schéma vous aidera sans doute à visualiser tout ça:

On peut donc dire que 15 est la valeur arrondie de  à l'unité.

Ou encore   à l'unité près.

 

  Un deuxième exemple: nous cherchons l'arrondi au millième de .

L'encadrement au millième est :

Les bornes inférieures et supérieures sont: 14,571 et 14,572

Le milieu exact entre ces deux bornes est 14,5715.

Comme  s'écrit 14,571428..., il est inférieur à 14,5715; il est donc plus près de la borne inférieure, c'est-à-dire de la valeur approchée par défaut .

On peut donc dire que 14,571 est la valeur arrondie de  au millième.

Ou encore  au millième près.

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Pour s'entrainer

 

Dans l'introduction, nous nous sommes également intéresser au nombre ; on se demandait "combien ça fait". Et bien, soit on utilise une méthode par tatonnement (voir l'activité faite en classe à ce propos en T1), soit on demande à la calculatrice.

Et celle-ci nous affiche :

Pour travailler des encadrements et des arrondis de ce nombre , veuillez ouvrir le fichier ci-joint:

 

  • Et vous trouverez la correction en suivant le lien correction

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